Lösa ekvationssystem substitutionsmetoden

I det förra avsnittet gick vi igenom hur vi löser linjära ekvationssystem grafiskt. För detta krävs väldigt mycket repetition på just uppgifter med någon typ av problemlösning, alltså en uppgift med kontext i verkligheten.

Du kan stöta på ett ekvationssystem med tre obekanta.

Genom att öva på metoden och förstå när den är mest användbar, kan du förbättra dina resultat på provet och öka din förståelse för algebraiska problem. Vi kommer att använda ekvationssystem i alla kurser framöver och det är viktigt att du kan lösa dessa.

Det viktigaste med ekvationssystem är att du inser vilka ekvationer du ska ställa upp och när ett ekvationssystem faktiskt behövs(det är inte alltid givet i uppgiften!).

En lösning för varje variabel

Innebär att vi kommer ha lösningar i form av t.ex. Detta ger den nya ekvationen:

$$2x+4=3x+2$$

Vad vi fick nu var en ekvation som endast innehåller en okänd variabel istället för två, och vi kan lösa ut x ur denna:

$$2x+4=3x+2$$

$$2x+4\,{\color{Blue} -\,2x} = 3x+2\,{\color{Blue} -\,2x}$$

$$4=x+2$$

$$4\,{\color{Blue} -\,2}=x+2\,{\color{Blue} -\,2}$$

$$x=2$$

Nu har vi värdet på x och för att reda på vad y är så stoppar vi bara in vårt funna x-värde i ekvation (1) (eller ekvation (2); y-värdet blir detsamma oavsett vilken av ekvationerna vi väljer att använda):

$$y=2\cdot 2+4=4+4=8$$

Nu ser vi att precis som vid den grafiska lösningen så är även den algebraiska lösningen till ekvationssystemet med hjälp av substitutionsmetoden x = 2, y = 8.

Substitutionsmetoden är alltså en metod för att lösa ett linjärt ekvationssystem algebraiskt.

Att behärska olika metoder för att lösa ekvationssystem, inklusive substitutionsmetoden, ger dig en stor fördel.

Genom att ersätta en variabel i en av ekvationerna med ett uttryck från den andra ekvationen, kan vi lösa systemet steg för steg. Vi kommer att gå igenom båda två varianter. Båda metoder kommer alltid att fungera, men substitutionsmetoden är i större utsträckning mer användbar, denna är att föredra!

Valet av metod beror på ekvationssystemet. Genom att öva på substitutionsmetoden kan du förbättra din problemlösningsförmåga och spara tid under provet. Här är några tips på hur du kan träna:

• Försök att lösa ekvationssystem med olika metoder, både substitutionsmetoden och additionsmetoden, för att se vilken metod som fungerar bäst för olika typer av problem.
• Träna på att känna igen när substitutionsmetoden är mest effektiv, till exempel när en ekvation redan är löst för en variabel.
• Öva på att lösa ekvationssystem snabbt och korrekt, så att du sparar tid under provet.
• Använd gamla högskoleprov för att öva på ekvationssystemfrågor.

  Metoden är särskilt användbar när en av ekvationerna redan är löst för en av variablerna.

  Snabbguide

  • Substitutionsmetoden: Ersätt en variabel med ett uttryck från den andra ekvationen och lös systemet.
  • Effektivitet: Använd metoden när en ekvation redan är löst för en variabel.
  • Övning: Träna på att lösa ekvationssystem med gamla högskoleprov och olika typer av problem.
  • Kompletterande metoder: Var beredd att använda både substitutionsmetoden och additionsmetoden på högskoleprovet.
  
  

  Hur fungerar substitutionsmetoden?

  För att använda substitutionsmetoden följer vi dessa steg:

  1. Lös en av ekvationerna för en av variablerna, till exempel .
  2. Ersätt variabeln i den andra ekvationen med uttrycket från steg 1.
  3. Förenkla och lös den nya ekvationen.
  4. Sätt in värdet från steg 3 i någon av de ursprungliga ekvationerna för att hitta den andra variabeln.

  Exempel på substitutionsmetoden

  Vi har ekvationssystemet:

  Steg 1: Lös en ekvation för en variabel

  Här är den första ekvationen redan löst för :

  Steg 2: Ersätt variabeln i den andra ekvationen

  Vi ersätter i den andra ekvationen med :

  Steg 3: Förenkla och lös ekvationen

  Nu löser vi ekvationen för :

  Steg 4: Sätt in värdet för i en av de ursprungliga ekvationerna

  Nu sätter vi in i den första ekvationen för att hitta :

  Lösningen på ekvationssystemet är:

  och

  Fördelar och nackdelar med substitutionsmetoden
  

  Substitutionsmetoden är särskilt användbar när en av ekvationerna redan är löst för en variabel.

  Det kan vara till exempel vad olika personer betalar för olika varor. Detta sker när linjerna har olika m-värden men samma lutning.

Ja, substitutionsmetoden är en viktig färdighet att behärska inför högskoleprovet. Då kommer linjerna aldrig att passera samma koordinat.