Naturliga talet e
Hem / Historia, Vetenskap & Forskning / Naturliga talet e
Men vad är det egentligen som gör talet e så speciellt, ett irrationelt tal som ungefär är lika med 2,72?
I det här avsnittet ska vi gå igenom varför talet e är så användarbart.
Att skriva om ett tal som en potens med basen e
I Matte 2-kursen gick vi igenom hur vi kan skriva om ett tal så att det uttrycks i tiopotensform, alltså skriva om ett tal med hjälp av logaritmer som en potens med basen 10.
Om vi har talet 3 och vill skriva om det som en potens med basen 10 gör vi på följande sätt:
$$3=10^{\lg 3}$$
På samma sätt kan vi skriva om ett tal som en potens med basen e, där logaritmen för talet e betecknas som ln och kallas den naturliga logaritmen.
Men eftersom att att den, precis som tiologaritmen, är väldigt användbar har den getts en egen beteckning, nämligen $\ln$ln. Vissa benämner talet för Nepers tal och syftar då på John Napier.
Eftersom att $ \lim\limits_{h \to 0}$ $\frac{e^h-1}{h}=$−1=$1$1 kan vi för små värde på $h$ göra omskrivningen
$e^h-1\approx h$−1≈
$e^h\approx1+h$≈1+
$e\approx\left(1+h\right)^{\frac{1}{h}}$≈(1+)1
Sätter vi $\frac{1}{h}=n$1= kan vi nu skriva att
$e=$= $ \lim\limits_{n \to ∞} $ $\left(1+\frac{1}{n}\right)^n$(1+1)
När vi lärde oss att lösa exponentialekvationer algebraiskt lärde vi oss tiologaritmen $\lg$lg.
Vi skulle lika gärna kunna lösa uppgiften med tio-logaritmen. Men då missar vi tjusningen med att enkelt i huvudet kunna beräkna $\ln e=1$ln=1. För att skriva om talet 3 som en potens med basen e gör vi på följande sätt:
$$3=e^{\ln 3}$$
Om vi har ett tal a som vi vill skriva om till basen e så gör vi på följande sätt:
$$a=e^{\ln a}$$
Vad har vi för nytta av den naturliga logaritmen?
Anledningen varför vi har så stor nytta av att skriva om ett tal som en potens med basen e med hjälp av den naturliga logaritmen ln, är på grund av att det hjälper oss när vi ska derivera allmänna exponentialfunktioner.
Exempel 2
Skriv talet $7$7 som en potens med basen $e$.
Lösning
Eftersom att $\ln$ln mycket omatematiskt sagt påverkar talet $7$7 på det vis att det ”neutraliserar” basen $e$ får vi att
$7=e^{\ln7}$7=ln7
Vi undrar ju: Vilket tal $x$ är det tal som basen $e$ ska upphöjas till för att svaret ska bli talet $7$7 ?
$e^x=7$=7 ⇒ $x=\ln7$=ln7
Svaret blir: Talet $\ln7$ln7 är det tal som basen $e$ ska upphöjas till för att svaret ska bli talet $7$7 .
$e^{\ln7}=7$ln7=7
Omatematiskt kan vi tänka som att talet $e$ och naturliga logaritmen $\ln$ln ”påverkar/motverkar/tar ut varandra” så att
$\ln e^x=x$ln= – talet i exponenten ”faller ner” på marknivå
$x=e^{\ln x}$=ln – puttar upp $x$:et i exponenten
Gästbok | Matematik minimum - Terminologi | Nedladdning |
Talet e (nepers tal, Eulers tal) | Logaritm |
Talet e, i matematiken är beteckningen för basen för de naturliga logaritmerna, med decimalbråksutvecklingen 2,718 281 828 459…
Det finns många analytiska uttryck för e, t.ex.
Utan den naturliga logaritmen hade vi behövt derivera exponentialfunktioner med närmevärden eller med hjälp av derivatans definition, vilket ibland kan upplevas som en omväg.
Värmeöverföring är proportionell mot temperaturskillnad. temperatur, hastighet, elektrisk laddning, folkmängd) och minskas eller ökas i tiden, då konstanten A är storhetens och B är riktningskoefficintens begynnelsevärde. Om vi släpper ut bara en tjugondel av vattnet ett tag och ersätter vi tjugo gånger med kallt vattnet blir till slut en lite varmare 35,85 ºC eftersom .
Som vi såg i avsnittet med Talet e, så är derivatan av exponentialfunktioner så här
$$f(x) = a^x$$
$$f'(x) = a^x \cdot \ln a$$
Sammanfattning
Den naturliga logaritmen har basen e och betecknas \(\ln(x)\) sen gäller likt de andra logaritmerna följande
$$\log_e(e^k) = \ln(e^k) = k$$
$$e^{\ln(k)} = k$$
Derivatan av exponentialfunktioner använder naturliga logaritmen
$$f(x) = a^x \Rightarrow f'(x) = a^x \cdot \ln a$$
Med hjälp av derivatans definition kan vi teckna derivatan för exponentialfunktionen $f\left(x\right)=a^x$()= som
$f´\left(x\right)=$´()= $ \lim\limits_{h \to 0}$ $\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=$(+)−()=$ \lim\limits_{h \to 0}$ $\frac{a^{x+h}-a^x}{h}$+−
Genom att nu förenkla uttrycket kan vi skriva
$f´\left(x\right)=$´()= $ \lim\limits_{h \to 0}$ $\frac{a^{x+h}-a^x}{h}=$+−= $ \lim\limits_{h \to 0}$ $\frac{a^x\cdot a^h-a^x}{h}=$·−= $ \lim\limits_{h \to 0}$ $a^x\cdot$·$\frac{a^h-1}{h}$−1
Eftersom att den första faktorn, $a^x$, inte påverkas av $h$, kan vi skriva $f´\left(x\right)=$´()=$a^x\cdot$·$k$
där $k=$= $ \lim\limits_{h \to 0}$ $\frac{a^h-1}{h}$−1
Genom att göra numeriska beräkningar, alltså sätta in mindre och mindre värden för $h$ i kvoten, kan vi bestämma att
= $ \lim\limits_{h \to 0}$ $\frac{1^h-1}{h}$1−1$=0$=0 vilket ger derivatan $f´\left(x\right)=$´()=$1^x\cdot0=0$1·0=0
= $ \lim\limits_{h \to 0}$ $\frac{2^h-1}{h}$2−1$\approx0,69$≈0,69 vilket ger derivatan $f´\left(x\right)\approx$´()≈$2^x\cdot0,69$2·0,69
= $ \lim\limits_{h \to 0}$ $\frac{3^h-1}{h}$3−1$\approx1,10$≈1,10 vilket ger derivatan $f´\left(x\right)\approx$´()≈$3^x\cdot1,10$3·1,10
= $ \lim\limits_{h \to 0}$ $\frac{4^h-1}{h}$4−1$\approx1,39$≈1,39 vilket ger derivatan $f´\left(x\right)\approx$´()≈$4^x\cdot1,39$4·1,39
Vi söker nu den basen $a$ som ger att konstanten $k=1$=1.
Denna logaritm kallas för den naturliga logaritmen och betecknas med $ln$.
Den naturliga logaritmen har basen $e$ och$e$och$e^{\ln x}=x$ln= gäller för alla $x>0$>0.
Logaritmen med basen $e$ kan skrivas som $\log_e$log .
Med formel kan vi beskriva ovanstående och alla liknande temperatursminskning:
där ϑ0 är begynnelse temperaturskillnad, ϑ är temperaturskillnad, t är tiden och T är en karakteristisk tid under vilken temperaturen sjunker 36,8 %.
Exemplar:
Då kan vi räkna ut även att vilken tidpunkt kommer 25 ºC vatten ur kranen: (se exemplet ovan)
Eller om ett föremåls hastighet bromsas ner under 3 sec från v0 = 80 km/h till v = 10 km/h från formel kan den karakteristiska tiden ("tidkonstanten") räknas ut för bromsning T = 1,44 sec och att under 2 sec vid samma bromsning minskar hastigheten till 20 km/h.
Givna A1, A2, t1, t2 (A1 > A2, t1 < t2)
Sökta T och A0 (karakteristisk tid och begynnelsevärde)
.
Alltså det värde på $k=$=$ \lim\limits_{h \to 0}$ $\frac{a^h-1}{h}=$−1=$1$1.Genom att studera beräkningarna ovan kan vi se att den basen måste finnas i intervallet $2<$2<$a<3$<3, eftersom att $k\approx0,69$≈0,69 när $a=2$=2 och $k\approx1,10$≈1,10 när $a=3$=3.
Genom upprepade beräkningar kan man finna att det värde på basen som ger att $k=$= $ \lim\limits_{h \to 0}$ $\frac{a^h-1}{h}=$−1=$1$1 är $2,718\text{ }281\text{ }828\text{ }459…$2,718 281 828 459…
Varför är nu detta intressant?
Jo, för att när $k=$= $ \lim\limits_{h \to 0}$ $\frac{a^h-1}{h}=1$−1=1 får vi att derivatan för basen $f’\left(x\right)=$’()=$a^x\cdot$·$k=a^x\cdot1=a^x$=·1= vilket i sin tur innebär att för denna bas gäller att $f\left(x\right)=f´\left(x\right)$()=´().
Funktionen och dess derivata är alltså två identiska funktioner.
Eulers tal, utifrån 1700-talsmatematikern Leonard Euler som gav talet sin beteckning $e$. Om vi släpper ut tio gånger en tiondel av innehållet och ersätter det varma vattnet med kallt (0 ºC) blir vattnets temperatur 34,87 ºC eftersom . Om genom en kran tömmer vi ut en tiondel av innehållet, 10 liter 100 ºC vattnet och genom en annan fyller vi 10 liter 0 ºC vatten får vi 100 liter 90 ºC vatten.
Till exempel ett uppvärmt föremål kylar sig hälften av sin temperatur under en viss tid och det behöver lika lång tid att kyla ner ytterligare hälften dess temperatur. Upprepar vi det, tömmer vi ut 10 liter 90 ºC och ersätter det vi med 0 ºC vatten då skall ha behållaren 100 liter 81 ºC vatten eftersom .
10 liter/minut vattenflöde och ersättning med kallt vatten kan räknas ut till 36,79 ºC eftersom om n är oändligt stort.
Med införande av talet e (e ≈ 2,718281828…) med definitionblir lätt att räkna ut alla liknande uppgifter, eftersom den exponentiella funktionen beskriver de alla förändringar som är proportionella mot värden av en storhet (t.ex.
serieutvecklingen
De flesta kvantiteter i naturen ökas eller minskas på sådant sätt att förändringens hastighet minskas (eller ökas) i tiden beroende av sin storhet. Med hjälp av logaritmen kan vi skriva om uttrycket så att variabeln hamnar i basen i stället för i exponenten.
I denna kurs introducerar vi en logaritm som kommer bli väldig användbar när vi deriverar exponentialfunktioner.
De flesta förändringar i naturen är likadana, de är proportionella mot förändrande storheterna.
Vi kan anta att det finns en idealiskt isolerad vattenbehållare som innehåller 100 liter 100 ºC vatten.
Den naturliga logaritmen
I de tidigare avsnitten har vi introducerat Talet e och visat hur vi deriverar exponentialfunktioner av typen f(x)=ex och f(x) =ekx.